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第一届华罗庚金杯”少年数学邀请赛第一试真题答案

来源:青岛奥数网整理      2012-03-27 11:12:15

  参考答案

  1.   2.应填20  3.长方形中的数是2  4.0.146米  5.锯下的木条面积为 平方米

  6.最大的约数是96  7.33743  8. 小时  9.184人  10.900  11. 11个

  12.△中数为3.1  13.甲、丙两站的距离是600米  14.多面体的面数、顶点数和棱数的总和是74个

  1.【解】原式=

  2.【解】要使 ()最后四个数字都是“0”,这个连乘积应能分解出4个“5”和4个“2”的因数,975=5×5×39,935=5×187,972=2×2×243,前三个数中共有3个“5”和2个“2”,所以括号中应填的数是:2×2×5=20。

  3.【解】第一个等式中必须有乘号,经尝试得9+13×7=100,14÷2-5=2.于是,长方形中的数是2

  4.【解】红点距离纸条左端0.618米,离右端1-0.618=0.382米,所以黄点离左端也是0.382米。

  红点与黄点之间的距离是:1-0.382×2=0.236(米)

  剪去一段纸条以后,剩下的纸条长0.618米.对折起来.对准黄点剪一刀,得到两段长0.236米的纸条还有一段纸条的长度是:0.618—0.236×2=0.146(米),经过比较,四段纸条中最短的一段是0.146米

  5.【解】将四块面积为 平方米的长方形,拼成下图的正方形,中心空一个小正方形。这个小正方形的边长是 米。

  大正方形的面积是: ×4+ = = (平方米)。

  因为 ,所以大正方形的边长是 米。

  大正方形的边长比原正方形的2倍少 米所以,原正方形的边长是 (米)。

  锯下的木条面积是 (平方米)

  6.【解】设该数为a,显然99=9×11不符合要求;98=3×7×7,97不是a的约数。而96=2×2×2×2×2×3是a的约数,所以其中最大的两位数约数为96。

  7.【解】 31743÷823=38……469

  无论后三位数字7、4、3中改变哪一个都不能使余数增或减变为823的倍数。如果将千位的1改为3,则由于2469=823×3,可得33743被823整除。如果改变万位数字,结果与33743相差一个两位数×1000,因而不被823整除,所以修改后的数是33743。

  8.【解】甲、乙、丙、丁四个水管,按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的: .

  加上池内原来的水,池内有水:

  再过四个4小时,也就是20小时以后,池内有水: ,在20小时以后,只需要再灌水1- = ,水就开始溢出. ÷ = (小时),即再开甲管 小时,水开始溢出,所以20+ = (小时)后,水开始溢出水池。

  9.【解】原来每校参赛人数是15的倍数,加1后是13的倍数,由于:6×15+1=7×13,所以每校原来参加人数为:6×15=90,最后两校共有:90×2+4=184(人)参加比赛.

  10.【解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S。4个小三角形的和S相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了3次,所以:4S=2S+20,从而:S=10,这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是:2×2×3×3×5×5=900

  11.【解】原来的那个空盒子现在不空了,另一个盒子现在变成了空盒子,这说明原来有一个盒子只装着一枚棋子,这枚棋子被拿走了原来装着一枚棋子的盒子变成空盒子以后,还需要有一个盒子来替代它。这个盒子原来装着2枚棋子.……可见原来盒子里的棋子是若干个从1开始的连续自然数。这些连续自然数之和是五十多。因为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.所以,共有11个盒子.

  12.【解】要求平均值尽可能小,就要尽量少使用大的数,而要多使用小的数。这五个○,两端的○中的数只参加一次运算,应该填入6.5和4.6;中间的○中的数参加了三次运算,应该填1.2,其余两个圈填2.9与3.7,这时有两种填法,不论哪一种,计算以后知道△中填的数应该是3.1。于是△中数为3.1.

  13.【解】小明第一次遇到小强的时候,走了全程的一半加100米;他从过乙站100米的地方开始,第二次前进,追上小强时离乙站300米,300-100=200(米),说明他走完了全程加200米这就可以判断,他第二次走的距离是第一次的2倍

  所以小强第二次走的距离也是第一次走的距离的2倍。小强第二次走过的距离是300+100=400(米),从而第一次走过的距离是200米乙站和丙站的距离就是200+100=300(米),甲、丙两站的距离是300×2=600(米).

  14.【解】多面体的面数,可以直接从侧面展开图中数出来,12个正方形加8个三角形,共20面。下图是多面体上部的示意图共有9个顶点;同样,下部也是9个顶点.共18个顶点。

  棱数要分成三层来数,上层,从示意图数,有15条;下层也是15条;中间部分为6条一共

  15×2+6=36(条)

  20+18+36=74(个).

  答:多面体的面数、顶点数和棱数的总和是74个。

 

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